1- مقدمه :

ميكرومكانيكهاي پارچه را بر اساس روش واحد كوچك مرسوم بررسي خواهيم كرد. بصورتيكه يك پارچه را به عنوان يك شبكه‌اي از واحدهاي كوچك مشخص و تكرار شونده در نظر گرفته شده و به شكل موجهاي تجعددر ساختار پارچه هاي تاري و پوديوحلقه هايسه بعديدرساختارپارچههايحلقوي قرار گرفته اند.

پارچه ها يك نوع مواد پيچيده‌اي هستند كه حتي بطور تقريبي از حالتهاي ايده آل ونرمال فرض شده در آناليز ساختاري مهندسي و مكانيك نيز پيروي نمي كنند . همچنين مطالعات هندسه پارچه ، نقش اساسي در توسعه فرآيند كنترل كيفيت طراحي، و تقويت پايداري ابعادي و خصوصيات پارچه در طول مدت توليد و كاربرد را ايفا مي كند .

در مورد پارچه هاي تاري پودي ، روشهاي آناليز نيرو بطور گسترده‌اي براي مطالعه و تفسير خواص مكانيكي پارچه مثل كشش ، خمش و برش مورد استفاده قرار گرفته است .اگر چه در مورد پارچه هاي حلقوي بدليل طبعيت سه بعدي حلقه هاي متقاطع ، آناليز روش نيرو بسيار پيچيده است . در هر دو روشهاي آناليز هندسي و نيرو براي پارچه هاي تاري /پودي و حلقوي ،؛ تعدادي از فرضيات اوليه در ارتباط با طبيعت تماسهاي نخ و شكل سطح مقطع نخ در هر واحد كوچك از پارچه لازم مي باشد .

اين فرضيات معمولاً خطاهاي زيادي در مورد هر نوع آناليز مكانيكي پارچه يا خواص رئولوژي آن را به همراه دارد .

در اين بحث ، نشان داده مي شود كه روشهاي آناليز مينيمم كردن انرژي بر بسياري از مشكلات قبلي روشهاي آناليز گذشته، برتري خواهد داشت تكنيكهاي مينيمم انرژي به طوركلي قوي هستند وقتي كه براي مطالعه ساختارها و مشخصات تغيير فرم الاستيك پارچه ( بعد از استراحت ) بكار مي روند . همچنين اجازه مي دهد كه مقايسه هاي مستقيم در حالتهايي كه پارامترهاي نرمال شده بي بعد بين ساختمانهاي مختلف پارچه تاري و پودي و حلقوي ، را بوجود آورد . آناليز انرژي بر اساس اصل اساسي كه ساختارهاي الاستيك هميشه ، شكلي از مينيمم انرژي ازدياد طول بدون توجه به تغيير فرم ايجاد شده، در نظرگرفته مي شود .نتيجه مينيمم انرژي كرنشي كل نخ در پارچه (شامل خمش ، پيچش ، فشار جانبي و ازدياد طول -طولي نخ ) بعنوان يك مسئله كنترل بهينه عمل نمود . و شامل قيود ( محدوديتها ) مشخص ه در پارچه مي‌باشد.

2- روشهاي آناليز انرژي

كاملاً مشخص است كه شرايط نيرو و تعادل گشتاوري در ساختارهاي استاتيكي از نظر رياضي با شرايط مينيمم انرژي معادل است (37-35) بدليل اينكه انرژي يك كميت عددي است بنابراين قسمتهاي خاصي از انرژي كل مي تواند بصورت عددي اضافه گردد اما نيروها و تنشها بايد بصورت برداري جمع شوند .

تريلور و ريدينگ[38] نشان دادند ، آناليز مكانيك نخ مي تواند به سادگي و قوي بوسيله روش انرژي انجام گيرد . هرل و نيوتن [39] نيز نشان دادند كه آناليز انرژي به كار رفته در پارچه هاي بي بافت ، نتيجه كلي ساده تر از روش نيرو مرتبط با آن را به دست خواهد آورد . همچنين تايبي و بيكر[40] ، از اصول انرژي براي پيدا كردن تاب مورد نياز نخ چند لا براي توليد كردن نخهاي بدون تاب زندگي استفاده كردند . و بالاخره تئوري كاستيگيليانو[41] بطور گسترده در مسائل مهندسي براي پيدا كردن حل، ساختارهاي نامعين بكار رفته است .اين تئوري توسط گروسبرگ[13] در پارچه هاي تاري و پودي استفاده شده است .

اين روشهاي انرژي بصورت ساده و كلي نمي تواند براي پارچه ها بكار روند بدليل اينكه هميشه يكسري فرضيات اوليه در مورد هندسه مسئله وجود دارد . تريلور و ريدينگ ، هندسه مارپيچ ثابت را براي نخها فرض نمودند، در نتيجه روش آنها هيچ اطلاعاتي درباره نيروهاي عرضي عمل شده در داخل نخ را بدست نمي آورد . هرل و نيوتن فرضياتي درباره هندسه توده الياف بي بافت در نظر گرفتند ، كه باز هم اطلاعاتي در رابطه با نيروهاي داخلي در سيستم بدست نيامد. در تئوري كاستيگيليانو، فرضية هندسه ثابت بكار رفت كه فقط قانون تنش – كرنش خطي مي تواند استنباط گردد[41].بنابراين گروسبرگ[13] فقط مدول ازدياد طول اوليه براي پارچه تاري و پودي را بيان نموده است .

روش هاي انرژي بطور گسترده در مسائل مكانيك پيچيده استفاده شده بطوريكه بجاي حالت هندسي ، روابط جبري بدست آمده از اصول انرژي جايگزين شده است . اگر مسئله بخوبي و بطور صحيح فرمول سازي شده باشد حداقل اطلاعات بيشتري با استفاده از روش انرژي نسبت به روشهاي نيرو مي تواند بدست آيد . سادگي بيشتر روش انرژي بطور طبيعي آنرا به يك روش جذاب تبديل نموده و همچنين تعداد فرضيات و تقريبهاي غير ضروري را نيز اغلب حذف نموده است . بطور مثال با استفاده از تئوري كنترل بهينه ، فرضيات قبلي ساخته شده در مورد طبيعت منطقه تقاطع نخ در پارچه حلقوي ساده ، لازم نمي باشد .

دلايل مناسب ديگري ،براي استفاده از روشهاي انرژي در مسائل مكانيكي پارچه نيز وجود دارد . اغلب اين روش بر اساس روشهاي مستقيم در محاسبة متغيرها و تكنيك عددي مشخص را پيشنهاد مي‌دهد .

3- فرمول سازي رياضي معادلات انرژي

1-3- مسئله اصلي

براي ساختار تغيير شكل يافته اين فرضيه ، مينيمم انرژي نشاندهندة اين است كه نيروهاي داخلي و خارجي و كوپلها در تعادل مكانيكي هستند .در آناليز نيرو ، لازم است كه يك واحد كوچك ساختاري به قسمتهايي تقسيم بندي شود بطوريكه در انتهاي آنها ، نيروها و كوپلها عمل مي كنند . طور هر قسمت بايد متفاوت باشد بخاطر اينكه نقطه عمل كننده . نيروهاي داخلي ثابت نيست .بنابراين در ساختار حلقوي ساده ، بايد فرضياتي ، در مورد نيروهاي نقطه‌اي و كوپلهاي عمل شده در ساختار و همچنين درباره طبيعت مناطق تماسي بين نخها ، ساخته شود . علاوه بر اين ،يك فرمول متفاوت از مسئله براي هر ساختار پارچه و براي هر نوع تغيير شكل با استفاده از آناليز نيرو، لازم مي باشد .

حتي براي سادگي بيشتر ، فشار نخ و فشردگي پارچه (Jamming) در آناليز نهايي بحساب نمي آيند .

آناليز انرژي كلي مكانيك پارچه پيشنهاد شده ، از ساختار پارچه مستقل مي باشد تعدادي از فرضيات محدود كننده آناليزهاي قبلي نيز حذف شده است همچنين فشرده شدن پارچه در نظر گرفته مي شود .

اين تئوري ارائه شده ، در حالت كلي و با بيان اهميت فيزيكي حالتهاي معرفي شده از تئوري كنترل بهينه در ساختارهاي اساسي مكانيك پارچه شرح داده شده است .

نقطه شروع روش انرژي ، آناليز ساختار الاستيك شامل مشخص كردن وفرمول سازي هر قسمت از انرژي در ساختار است اين انرژي نياز به تعريف دقيق دارد و مي تواند بصورت پارامترهاي ذيل ارائه گردد .

1)‌انرژي پتانسيل كل

2)‌ انرژي مكمل

3) انرژي كرنشي

اين تقسيم بندي به طبيعت نيروها و كوپلهاي مرزي بكار رفته ، بستگي دارد .در روش ارائه شده ، انرژي كرنشي كل ( شامل مجموع خمش ، پيچش – فشار جانبي و انرژيهاي كرنشي ازدياد طول طولي مي باشد ) فرمول سازي شده است و اين انرژي كرنشي كل ، مينيمم سازي شده است .

شرايط لازم تعادل نيرو و گشتاور با شرايط مناسب انرژي مينيمم ، پايدار خواهد شد بشرط آنكه مسئله به طور صحيح فرمول سازي شده باشد .

2-3-فرضيات

با توجه به اينكه انرژي يك كميت عددي است بنابراين انرژي كل E هر واحد كوچك ، بصورت مجموع انرژي حالتهاي هر موج يا حلقه تكرار شونده ، بيان مي گردد .

(1-9)

به ترتيب حالتهاي انرژي در واحد طول نخ براي خمش ، پيچش ، فشار جانبي و كشش طولي هستند و L_i هم طول i امين حلقه در تكرار و n هم تعداد حلقه هاي تشكيل شده در واحد كوچك پارچه مي باشد .

فرضيات ذيل براي آناليز كلي در نظر گرفته مي شود .

1)‌الف : نخها در خمش ، داراي الاستيك خطي هستند در نتيجه انرژي خمشي در واحد طول نخ بصورت تعريف مي گردد بطوريكه B سختي خمش نخ و K انحناي كلي نخ مي باشد .

ب : نخ داراي سختي يكسان ، در تمام جهات خمشي است .

2) انرژي پيچشي نخ در واحد طول بصورت تعريف مي گردد بطوريكه G‌ سختي پيچشي نخ و تاب در واحد طول نخ است .

براي سادگي ، انرژي فشار جانبي نخ در واحد طول در ابتدا بصورت E_C=Cg(r) فرض مي شود كه ‍C سختي فشاري و r فاصله از يك نقطه روي نخ مرجع با محل ديگر است اگرچه هنوز تعريف نشده است اما نقطه‌ در محل تماس نخ مي باشد . تابع اصلي تماس نخ g‌ بصورت نيمه تجربي مشخص مي شود . بعداً در آناليز انرژي فشاري E_c ، بصورت كاملتر تعريف خواهد شد .

در ابتدا، انرژي ذخيره شده حاصل از ازدياد طول كششي نخ در پارچه چشم پوشي مي‌گردد. اين فرضيه به استراحت دادن براي يك ساختار پارچه تاري و پودي نياز خواهد داشت اگرچه براي پارچه هاي حلقوي با تغيير شكل كم و متوسط بوسيله تغييرات در انحناي نخ و فشار نسبت به ازدياد طول كششي ، مشخص مي گردد . بنابراين در ابتدا بغير از تغيير شكلهاي زياد پارچه،طول نخ ثابت فرض مي شود و بنابراين E_t نيز ناچيز خواهد بود .

3-3- آناليز رياضي

انرژي كرنشي

منحني نشان داده شده بوسيله محور نخ در سه جهت خم شده با Z=Z(S) ارائه مي‌گردد بطوريكه مختصات سه بعدي هر نقطه روي محور نخ هستند و S پارامتر متغير طول كمان است انحناي محور نخ با بردار اندازه K نشان داده مي‌شود .(‌نسبت به S بدست آمده است )

(2-9)

انرژي خمشي نخ ( در واحد طول ) در هر نقطه بصورت ذيل خواهد بود.